Question

15．已知函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）+cosx+a$的最小值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式．结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可求常数a的值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，结合三角函数的性质可得对称轴方程．

解答 解：（1）函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）+cosx+a$
化简可得：f（x）=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a
=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a．
∵f（x）的最小值为1．即-2+a=1
∴解得：a=3
（2）由（1）可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+3．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$是单调递增，
解得：$-\frac{2π}{3}+2kπ≤x≤\frac{π}{3}+2kπ$，
∴单调增区间$[{-\frac{2}{3}π+2kπ，\frac{π}{3}+2kπ}]，k∈Z$；
令$-\frac{3π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$$≤-\frac{π}{2}+2kπ$是单调递减，
解得：$-\frac{5π}{3}+2kπ≤x≤-\frac{2π}{3}+2kπ$
∴单调减区间$[{-\frac{5}{3}π+2kπ，-\frac{2}{3}π+2kπ}]，k∈Z$；
令x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$
解得：$x=\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$
∴对称轴方程是$x=\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．