Question

已知函数f（x）=x²+ax+ln2，在[0，1]上为增函数，且对于任意的x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂都满足|f（x₁）-f（x₂）|＜3|x₁-x₂|，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）在[0，1]上为增函数，通过求导得到a≥-2x在[0，1]恒成立，求出a的范围，设x₁＜x₂，得：f（x₂）-3x₂＜f（x₁）-3x₁，通过构建新函数g（x），结合函数的单调性，从而综合得到a的范围．

解答： 解：函数f（x）=x²+ax+ln2，在[0，1]上为增函数，
∴f′（x）=2x+a≥0在[0，1]恒成立，
∴a≥-2x在[0，1]恒成立，
∴a≥0；
对于任意的x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂不妨设x₁＜x₂，
由|f（x₁）-f（x₂）|＜3|x₁-x₂|，
得：f（x₂）-3x₂＜f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，
只需g（x）在[0，1]上得到递增即可，
∴只需g′（x）=2x+a-3≥0在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3-2x在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3即可，
综上，a≥3，
故答案为：a≥3．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了转化思想，是一道中档题．