【题目】已知函数,函数是函数的反函数.
求函数的解析式,并写出定义域;
设,判断并证明函数在区间上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为),且.
【答案】(1);;
(2)在区间上是减函数,证明见解析;
(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据和得出,此范围就是其反函数的定义域,再由,可解得,,再将互换得,从而得函数的解析式;
(2)设,则,,,可得,可得证;
(3)先判断函数的奇偶性,再由(2)得出在上的单调性,根据零点存在定理可得证.
,,,,
又,,
由,得,,互换得,
,定义域
在区间上的单调递减,证明如下:
由(1)可知,,且定义域为,
设,则,
,,
,
由得,即,
在区间上是减函数;
对任意,有,
所以,函数是奇函数,
由(2)得在区间上是减函数,所以函数在上单调递减,且在上的图像也是不间断的光滑曲线,
又
,
所以,根据零点存在定理得:函数在区间上有且仅有唯一零点,
所以,函数在区间上有且仅有唯一零点,且.
故得解.
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【题目】已知椭圆:的两个焦点分别为和,短轴的两个端点分别为和,点在椭圆上,且满足,当变化时,给出下列三个命题:
①点的轨迹关于轴对称;②的最小值为2;
③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个,
其中,所有正确命题的序号是__________.
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【题目】为了了解学生考试时的紧张程度,现对100名同学进行评估,打分区间为,得到频率分布直方图如下,其中成等差数列,且.
(1)求的值;
(2)现采用分层抽样的方式从紧张度值在,中共抽取5名同学,再从这5名同学中随机抽取2人,求至少有一名同学是紧张度值在的概率.
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【题目】某校有17名学生参加某大学组织的夏令营活动,每人至少参加地学、考古、信息科学三科夏令营活动中的一科,已知其中参加地学夏令营活动的有11人,参加考古夏令营活动的有7人,参加信息科学夏令营活动的有9人,同时参加地学和考古夏令营活动的有4人,同时参加地学和信息科学夏令营活动的有5人,同时参加考古和信息科学夏令营活动的有3人,则三科夏令营活动都参加的人数是_______.
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【题目】如图,四边形中,,,,,,分别在,上,,现将四边形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折叠后的线段上是否存在一点,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥的体积的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线:与直线:交于,两点.
(1)当时,求的面积的取值范围.
(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某城市的街道是相互垂直或平行的,如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐标系,对两点和,用以下方式定义两点间距离:.如图,学校在点处,商店在点,小明家在点处,某日放学后,小明沿道路从学校匀速步行到商店,已知小明的速度是每分钟1个单位长度,设步行分钟时,小明与家的距离为个单位长度.
(1)求关于的解析式;
(2)做出中函数的图象,并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长.
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