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对于函数f(x)和g(x),设α∈{x∈R|f(x)=0},β∈{x∈R|g(x)=0},若存在α、β,使得|α-β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围为(  )
分析:先得出函数f(x)=ex-1+x-2的零点为x=1.再设g(x)=x2-ax-a+3的零点为β,根据函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”,及新定义的零点关联函数,有|1-β|≤1,从而得出g(x)=x2-ax-a+3的零点所在的范围,最后利用数形结合法求解即可.
解答:解:函数f(x)=ex-1+x-2的零点为x=1.
设g(x)=x2-ax-a+3的零点为β,
若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”,
根据零点关联函数,则|1-β|≤1,
∴0≤β≤2,如图.
由于g(x)=x2-ax-a+3必过点A(-1,4),
故要使其零点在区间[0,2]上,则
g(0)≥0
g(
a
2
)≤0
,即
-a+3≥0
(
a
2
)
2
-a×
a
2
-a+3≤0

解得2≤a≤3,
故选C.
点评:本题主要考查了函数的零点,考查了新定义,主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题,解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式f(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线y=kx+m是函数f(x),g(x)的分界线.已知函数f(x)=ex(ax+1)(e为自然对数的底,a∈R为常数).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a=1,试探究函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ax2+x-3,g(x)=-x+4lnx,h(x)=f(x)-g(x)
(1)当a=1时,求函数h(x)的极值;
(2)若函数h(x)有两个极值点,求实数a的取值范围;
(3)定义:对于函数F(x)和G(x),若存在直线?:y=kx+b,使得对于函数F(x)和G(x)各自定义域内的任意x,都有F(x)≥kx+b且G(x)≤kx+b成立,则称直线?:y=kx+b为函数F(x)和G(x)的“隔离直线”.则当a=1时,函数f(x)和g(x)是否存在“隔离直线”.若存在,求出所有的“隔离直线”;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式f(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线
y=kx+m是函数f(x),g(x)的分界线.已知函数f(x)=ex(ax+1)(e为自然对数的底,a∈R为常数).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a=1,试探究函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna其中a为常数,e=2.718K,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在它们与坐标轴交点处的切线分别为l1,l2,且l1∥l2
(Ⅰ)求常数a的值及l1,l2的方程;
(Ⅱ)求证:对于函数f(x)和g(x)公共定义域内的任意实数x,有|f(x)-g(x)|>2;
(Ⅲ)若存在x使不等式
x-m
f(x)
x
成立,求实数m的取值范围.

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