Question

已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）是二次函数，其图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0），与y轴交于C（0，6）
（1）求y=f（x），（x∈R）的解析式；
（2）若方程f（x）-2a+2=0有四个不同的实数根，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知，可设出x≥0时，f（x）的交点式，结合与y轴交点坐标，可求出x≥0时函数的解析式，进而根据偶函数满足f（-x）=f（x）求出当x＜0时函数的解析式，可得y=f（x），（x∈R）的解析式；
（2）若方程f（x）-2a+2=0有四个不同的实数根，即y=f（x）与y=2a-2在同一坐标系中的图象有四个不同的交点，画出函数的图象，数形结合可得答案．

解答：解：（1）依题意可设，当x≥0时，f（x）=a（x-1）（x-3）…1
由f（0）=6得：3a=6，
∴a=2，…2
此时f（x）=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6（x≥0）…3
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=2x²+8x+6…4
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=2x²+8x+6（x＜0）
∴f(x)=

2x2-8x+6，x≥0 2x2+8x+6，x＜0

…6
（2）依题意：f（x）=2a-2有四个不同实数根，
即y=f（x）与y=2a-2在同一坐标系中的图象有四个不同的交点，

如图可知只需满足条件
-2＜2a-2＜6
∴0＜a＜4
即实数a的取值范围是（0，4）…12

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式的求法，根的存在性及根的个数判断，根据函数的奇偶性及二次函数解析式的求法，求出函数的解析式是解答的关键．