Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MDB；
（2）求证：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M为PC的中点，求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中位线平行于底边，由PA∥OM，线线平行证明线面平行；
（2）因为Q为中点，等腰三角形的中线即高，利用线面垂直的判定定理证明AD⊥平面PQB；
（3）利用MH=

1

2

PQ求棱锥的高MH，根据底面S_菱形ABCD=2S_△ABD求底面面积，代入棱锥的体积公式求得．

解答：解：（1）连接AC，设与BD交于点O，则O为AC的中点，连接OM，
∵OM是△PAC的中位线，∴PA∥OM，
又∵PA?平面MBD，OM?平面MBD，∴PA∥平面MBD．
（2）∵PA=PD，Q为中点，∴AD⊥PQ，
连接DB，在△ADB中，AD=AB，∠BAD=

π

3

，∴△ABD为等边三角形，Q为AD的中点，
∴AD⊥BQ，又PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（3）连接QC，作MH⊥QC于H．
∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，
QC?平面ABCD，∴PQ⊥QC，又MH、PQ共面，∴PQ∥MH，
∴MH⊥平面ABCD，
又PM=

1

2

，∴MH=

1

2

PQ=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

．
在菱形ABCD中，BD=2，
S_△ABD=

1

2

×AB×AD×sin

π

3

=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABD=2

3

．
∴V_M-ABCD=

1

3

×S_菱形ABCD×MH=

1

3

×2

3

×

3

2

=1．

点评：本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判断，考查了面面垂直的性质及棱锥的体积计算，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力．