Question

【题目】函数f（x）=2x﹣ex+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x﹣ex+1，f′（x）=2﹣ex，

令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，

∴f（x）在（﹣∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减，

∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2﹣1

（2）解：x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减，

且f（0）=0，f（1）=3﹣e＞0，∴f（x）＞0，

∵tanx＞0，∴a≤0时，af（x）≤0＜tanx；

a＞0时，令g（x）=tanx﹣af（x），

则g′（x）= +a（ex﹣2），

∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1﹣a，

①0＜a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0，

∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，

∴此时g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，

②a＞1时，g′（0）＜0，g′（1）＞0，

∴x0∈（0，1），使得g′（x0）=0，

即x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

又g（0）=0，

∴g（x）＜0与af（x）＜tanx矛盾，

综上：a≤1

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）求出f（x）在（0，1）为正，a≤0时，符合题意，a＞0时，通过讨论①0＜a≤1，②a＞1时的情况，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．