Question

已知函数f（x）=x²-5x+3-

k(x-1)

ex

，g（x）=-x+xlnx（k∈R），若对于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：对于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，即为f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1恒成立．可先求出g（x）的最小值-1，再由-1≤x²-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1恒成立，即为k≤（x-4）•e^x在x＞1恒成立，令h（x）=（x-4）•e^x，运用导数求出极小值也为最小值，只要k不大于最小值，即可得到k的范围．

解答： 解：对于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
即为f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1恒成立．
对于g（x）=-x+xlnx，g′（x）=-1+lnx+1=lnx，
g′（x）＞0则x＞1，g′（x）＜0则0＜x＜1，
即有x=1为极小值点，且为最小值点，g（1）=-1．
则有-1≤x²-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1恒成立，
即

k(x-1)

ex

≤x²-5x+4在x＞1恒成立，即有k≤（x-4）•e^x，
令h（x）=（x-4）•e^x，h′（x）=（x-3）•e^x，
在x＞3时，h′（x）＞0，在1＜x＜3时，h′（x）＜0，
则x=3时，h（x）取极小值也为最小值，h（3）=-e³，
则有k≤-e³．
故答案为：（-∞，-e³]．

点评：本题考查不等式的恒成立问题，考查转化思想方法，即转化为求函数的最值问题，注意运用导数求解，属于中档题和易错题．