Question

已知函数f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判断函数f₁（x）的单调性；
（2）若m＜一2，求函数f（x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[-2，2]）的最值；

Answer 1

分析：（1）用导数法判断其单调性，第一步先求导数，第二步判断，当导数大于零时，函数为增函数，当导数小于零时，函数为减函数．（2）先构造函数，再判断其单调性，然后求最值．

解答：解：（1）∵f′1(x)=

m(4-x2)

(2x2+8)2

（2分）
则当m＞0时，在（-2，2）上函数f₁（x）单调递增；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递减．（4分）
当m＜0时，在（-2，2）上函数f₁（x）单调递减；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递增．（6分）

（2）由m＜-2，，-2≤x≤2，可得f2(x)=(

1

2

)x-m=2m•(

1

2

)x（8分）
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=

mx

4x2+16

+2m•(

1

2

)x
由（1）知，当m＜-2，-2≤x≤2时，f₁（x）在[-2，2]上是减函数，
而f2(x)=2m•(

1

2

)x在[-2，2]上也是减函数（10分）
∴当x=-2时，f（x）取最大值4•2m-

m

16

=2m+2-

m

16

，
当x=2时，f（x）取最小值2m-2+

m

16

（12分）

点评：本题主要考查导数法研究单调性，同进考查了求最值或值域时，必须先研究单调性．