对于函数,若存在实数对(
),使得等式
对定义域中的每一个
都成立,则称函数
是“(
)型函数”.
(1) 判断函数是否为 “(
)型函数”,并说明理由;
(2) 若函数是“(
)型函数”,求出满足条件的一组实数对
;
(3)已知函数是“(
)型函数”,对应的实数对
为(1,4).当
时,
,若当
时,都有
,试求
的取值范围.
(1) 不是“(
)型函数”,理由详见解析;(2)
(答案不唯一)(3)
【解析】
试题分析:(Ⅰ) 由给出的定义可知 展开后的方程中如果不含x说明对任意x都成立,则函数
是“(
)型函数” ,如果展开后的方程含x,则根据方程只能求出某个或某些x满足要求而不是每一个x都符合,则函数
不是“(
)型函数(Ⅱ)根据定义列出方程 ,满足方程的实数对应有无数对,只取其中一对就可以。(Ⅲ)难度系数较大,应先根据题意分析出当
时,
,此时
。根据已知
时,
,其对称轴方程为
。属动轴定区间问题需分类讨论,在每类中得出
时
的值域即
的值域,从而得出
时
的值域,把两个值域取并集即为
的
的值域,由
可知
的值域是
的子集,列出关于m的不等式即可求解。
试题解析:【解析】
(1) 不是“(
)型函数”,因为不存在实数对
使得
,
即对定义域中的每一个
都成立;
(2) 由,得
,所以存在实数对,
如,使得
对任意的
都成立;
(3)由题意得,,所以当
时,
,其中
,而
时,
,其对称轴方程为
.
当,即
时,
在
上的值域为
,即
,则
在
上 的值域为
,由题意得
,从而
;
当,即
时,
的值域为
,即
,则
在
上的值域为
,则由题意,得
且,解得
;
当,即
时,
的值域为
,即
,则
在
上的值域为
,即
,则
,解得
.
综上所述,所求的取值范围是
.
考点:对新概念的理解能力,以及动轴定区间求二次函数的值域问题。
科目:高中数学 来源:2016届江苏省宿迁市高一上学期第二次月考数学试卷(解析版) 题型:填空题
设为实常数,
是定义在
上的奇函数,当
时,
, 若
对一切
成立,则
的取值范围为________.
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