Question

13．求证：函数f（x）=$\frac{2x}{1-x}$在区间（-∞，1）上的单调增函数．

Answer 1

分析 先分离常数得到f（x）=$-2+\frac{2}{1-x}$，根据单调性的定义，设任意的x₁＜x₂＜1，然后作差，通分，根据x₁＜x₂＜1便可证明f（x₁）＜f（x₂），从而证出f（x）在（-∞，1）上单调递增．

解答 证明：$f（x）=\frac{-2（1-x）+2}{1-x}=-2+\frac{2}{1-x}$，设x₁＜x₂＜1，则：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{1-x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$；
∵x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0；
∴$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）是在区间（-∞，1）上单调增函数．

点评 考查分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差法比较f（x₁）与f（x₂），作差后，是分式的一般需通分．