Question

16．已知点P在以点F₁，F₂分别为左、右焦点的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，且满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 由已知得PF₁⊥PF₂，由tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，得$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，设PF₂=x，则PF₁=3x，F₁F₂=2c=$\sqrt{10}x$，由双曲线定义得2a=PF₁-PF₂=3x-x=2x，由此能求出该双曲线的离心率．

解答 解：如图，∵点P在以点F₁，F₂分别为左、右焦点的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，且满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，∵tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
设PF₂=x，则PF₁=3x，
∴F₁F₂=2c=$\sqrt{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{10}x$，
由双曲线定义得2a=PF₁-PF₂=3x-x=2x，
∴该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用勾股定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．