Question

8．分别求满足下列条件的方程：
（1）求长轴在y轴上，长轴长等于12，离心率等于$\frac{2}{3}$的椭圆的标准方程；
（2）抛物线的对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于4，求这个抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得2a=12，则可以设要求椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，进而由题意可得e=$\frac{\sqrt{36-{b}^{2}}}{6}$=$\frac{2}{3}$，解可得b²的值，代入标准方程即可得答案；
（2）根据题意，设要求抛物线的标准方程为y²=±2px，（p＞0），又由顶点与焦点的距离等于4，即$\frac{p}{2}$=4，解可得p的值，代入标准方程即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，要求椭圆的长轴在y轴上，且长轴长等于12，即2a=12，
则可以设要求椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
其c=$\sqrt{36-{b}^{2}}$，
又由该椭圆的离心率等于$\frac{2}{3}$，
则有e=$\frac{\sqrt{36-{b}^{2}}}{6}$=$\frac{2}{3}$，
解可得：b²=20，
故要求椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1；
（2）根据题意，要求抛物线的对称轴是x轴，
则设其标准方程为y²=±2px，（p＞0）
又由顶点与焦点的距离等于4，即$\frac{p}{2}$=4，
解可得p=8，
则要求抛物线的标准方程为：y²=±16x．

点评 本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法，关键是掌握并利用椭圆、抛物线的简单几何性质．