Question

如图，四棱锥P桝BCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成的角；

(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：建立如图所示的直角坐标系D梮yz, ∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°. 在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=23. ∴P(0,0,23). (2)解析：∵=(2,0,-2), =(-2,-3,0), ∴cos〈,〉==-. ∴PA与BC所成的角为arccos. (3)证明：∵M为PB的中点， ∴点M的坐标为(1,2,). ∴=(-1,2,), =(1,1,),PB=(2,4,-2). ∵·=(-1)×2+2×4+×(-2)=0, ·=1×2+1×4+3×(-2)=0, 提示：