Question

（1）求不等式

2-x

x+4

＞0的解集
（2）设z的共轭复数是

.

z

，若z+

.

z

=4，z×

.

z

=8，求

. z

z

（3）已知函数f（x）=(

1

3

)ax2-4x+3，若a=-1，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）直接化分式不等式为整式不等式求解；
（2）设出复数z的代数形式，由已知列式求出其实部和虚部，则答案可求；
（3）把a=-1代入函数f（x）的解析式，分析内层函数的单调区间，然后利用复合函数的单调性求得答案．

解答：解：（1）由

2-x

x+4

＞0，得（x+4）（2-x）＞0，即（x+4）（x-2）＜0，解得-4＜x＜2．
∴不等式

2-x

x+4

＞0的解集为（-4，2）．
（2）设z=a+bi（a，b∈R），则

.

z

=a-bi．
由z+

.

z

=4，z×

.

z

=8，得

2a=4 a2+b2=8

，解得

a=2 b=-2

或

a=2 b=-2

．
∴z=2-2i或z=2+2i．
则

. z

z

=

2+2i

2-2i

=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=

2i

2

=i，
或

. z

z

=

2-2i

2+2i

=

1-i

1+i

=

(1-i)2

(1+i)(1-i)

=

-2i

2

=-i；
（3）由a=-1，∴函数f（x）=(

1

3

)ax2-4x+3=(

1

3

)-x2-4x+3，
令t=-x²-4x+3，则f（x）=g（t）=(

1

3

)t．
外层函数g（t）=(

1

3

)t为减函数，内层函数t=-x²-4x+3是开口向下的抛物线，对称轴方程为x=-2．
∴函数t=-x²-4x+3在（-∞，-2）上为增函数，则f（x）在（-∞，-2）上为减函数；
函数t=-x²-4x+3在（-2，+∞）上为减函数，则f（x）在（-2，+∞）上为增函数．
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-2），增区间为（-2，+∞）．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了分式不等式的解法，训练了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，是中档题．