Question

17．化简log₂$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}…\sqrt{2}}}}$（总共有2015个2）的结果为（　　）

• A． $\frac{2014}{2015}$
• B． $\frac{{2}^{2015}-1}{{2}^{2015}}$
• C． $\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2014}}$
• D． $\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$

Answer 1

分析 化根式为分数指数幂，利用等比数列的前n项和化简，结合对数的运算性质得答案．

解答 解：log₂$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}…\sqrt{2}}}}$=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2015}}}=lo{g}_{2}{2}^{\frac{{2}^{2015}-1}{{2}^{2015}}}$=$\frac{{2}^{2015}-1}{{2}^{2015}}$．
故选：B．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．