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【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.

(1)讨论的单调性;

(2)当时,恒成立,求的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;(2)令只需在使即可,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,求出函数的最值,从而确定的范围即可.

解:(1)由题意可知,

时,,此时上单调递增;

时,令,解得

时,单调递减;

时,单调递增;

时,令,解得

时,单调递减;

时,单调递增;

综上,当时,上单调递增;

时,时,单调递减,

时单调递增;

时,时,单调递减,

时单调递增.

(2)由

可得,

只需在使即可,

①当时,,当时,,当时,

所以上是减函数,在上是增函数,

只需

解得,所以

②当时,上是增函数,

上是减函数,在上是增函数,

,解得

③当时,上是增函数,

成立,

④当时,上是增函数,

上是减函数,在上是增函数,

,解得

综上,的取值范围为.

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【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:

年级名次/是否近视

1-50

951-1000

近视

41

32

不近视

9

18

(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;

(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到如上述表格中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;

(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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若点P的横坐标为1,且,求p的值.

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1)记点M形成的轨迹为曲线C,求曲线C的轨迹方程.

2)已知P2m)、Q2,﹣m)(m0)是曲线C上的两点,AB是曲线C上位于直线PQ两侧的动点,当AB运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

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(I)根据基叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将乙同学的成绩的频率分布直方图填充完整;

(Ⅱ)根据基叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(Ⅲ)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,设事件为“其中2 个成绩分别属于不同的同学”,求事件发生的概率.

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