Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣1，f（x）=（x﹣1）2+1；

∴f（1）=1是f（x）的最小值，f（﹣5）=37是f（x）的最大值

（2）解：f（x）的对称轴为x=﹣a；

∵f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数；

∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；

∴a≥5，或a≤﹣5；

∴实数a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）

【解析】（1）求二次函数的最值、单调性，可以对二次函数方程使用配方法，使得函数的最值与单调性一目了然；（2）根据二次函数的开口方向、对称轴与函数单调性的关系得到抽象函数的单调递增与递减区间，再结合题意列出不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的单调性的相关知识，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种，以及对二次函数在闭区间上的最值的理解，了解当时，当时，；当时在上递减，当时，．