Question

设A、B分别为双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右两个顶点,P为双曲线上一点, |AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°.

(1)求双曲线的方程;

(2)设M为(1)中双曲线上任一动点,过B点作直线l₁,使得l₁⊥BM,过A点作直线l₂,使得l₂⊥AM,l₁、l₂相交于点N,求点N的轨迹方程.

Answer 1

解:(1)∵|AB|=4,

∴2a=4,即a=2.

过P点作PC⊥x轴,C为垂足.

在△ABP中,

∵|AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°,

∴∠PBC=2∠PAB=60°.

∴|PC|=|PB|·sin60°=2.

∴P(4,2).

又∵点P为双曲线上任意一点,则=1.

∴b²=4.

故所求双曲线的方程为-=1.

(2)设M(x₀,y₀)、N(x,y).∵A(-2,0)、B(2,0),

NB⊥MB,NA⊥MA,

∴

由（1）×（2）得=1.                                              （3）

又∵M(x₀,y₀)在双曲线上,

∴=1.∴=1.代入（3）中,

得=1,即x²-y²=4.

经检验点(-2,0)、(2,0)不符合题意.

故N点轨迹方程为x²-y²=4(x≠±2).