Question

已知函数f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+

π

2

)cosωx(0＜ω≤2)的图象过点(

π

16

，2+

2

)．
（Ⅰ）求ω的值及使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）该函数的图象可由函数y=

2

sin4x(x∈R)的图象经过怎样的变换得出？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由倍角公式和两角和的正弦公式对解析式进行化简，把已知点代入根据ω的范围求出ω的值，根据正弦函数的最小值，即当sin(4x+

π

4

)=-1时，函数有最小值，求出对应的x的集合；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的解析式和图象变换法则，即“左加右减”和“上加下减”，进行图象变换．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=3-（1-cos2ωx）+2sinωcosωx=2+cos2ωx+sin2ωx（2分）
=2+

2

sin(2ωx+

π

4

)（3分）
∵函数f（x）的图象过点(

π

16

，2+

2

)
∴2+

2

=2+

2

sin(2ω×

π

16

+

π

4

)
即sin(

π

8

ω+

π

4

)=1，∴

π

8

ω+

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)
∴0＜ω≤2，∴当k=0时，ω=2即的求ω的值为2（6分）
故f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
当f（x）取最小值时，sin(4x+

π

4

)=-1，此时4x+

π

4

=2kπ-

π

2

(k∈Z)
∴x=

kπ

2

-

3

16

π(k∈Z)．
即，使f（x）取得最小值的x的集合为{x|x=

kπ

2

-

3

16

π，k∈Z}（9分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
∴函数f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)的图象可由y=

2

sin4x的图象经过以下变换得出；
先把y=

2

sin4x图象上所有的点向左平移

π

16

个单位长度，
得到函数y=

2

sin(4x+

π

4

)的图象，再把所得图象上的所有点，
向上平移2个单位长度，从而得到函数y=2+

2

sin(4x+

π

4

)，x∈R的图象．（12分）

点评：本题的考点是图象的变换和解析式的求法，应先对解析式化简再把条件代入，利用知识点有倍角公式和两角和的正弦公式，图象变换法则和正弦函数的性质，考查了整体思想．