Question

如图，平行六面体ABCD—中，AC＝，BC＝＝＝2，∠ABC＝点O是点在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上．

(Ⅰ)求侧棱与底面ABCD所成角的大小；

(Ⅱ)求侧面与底面ABCD所成二面角的正切值；

(Ⅲ)求四棱锥C—的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)连，则⊥平面ABCD于O． 　　∴∠就是侧棱与底面ABCD所成的角． 　　在△中，＝2，AC＝2， 　　 　　∴△是等腰直角三角形． 　　 　　(Ⅱ)在等腰Rt△⊥AC，∴，且O为AC中点， 　　过O作OE⊥AD于E，连⊥平面ABCD于O， 　　由三垂线定理，知⊥AD， 　　∴∠是侧面与底面ABCD所成二面角的平面角． 　　∵∠ABC＝，∴底面ABCD是正方形．∴OE＝1． 　　在Rt△． 　　即所求二面角的正切值为． 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知，⊥AD，AD＝BC＝2，＝＝． 　　∴． 　　∵⊥AD，OE⊥AD，∴AD⊥平面． 　　∵，∴平面⊥平面，它们的交线是． 　　过O作OH⊥，则OH⊥平面． 　　． 　　又∵O是AC的中点，∴点C到平面的距离h＝2OH＝． 　　∴ 　　另解：＝＝＝＝．