Question

（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1.

（I）求证：A₁C//平面AB₁D；

（II）求二面角B—AB₁—D的大小；

（III）求点C到平面AB₁D的距离.

 

Answer 1

【答案】

（I）空间直角坐标系D—xyz,

（II）（III）

【解析】

试题分析：建立空间直角坐标系D—xyz，如图，

（1）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

设A₁A =" AB" = 1，

则

 …………………………3分

，

 ……………………………………4分

（2）解：， ，

设是平面AB₁D的法向量，则，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………6分

设二面角B—AB₁—D的大小为θ，，

∴二面角B—AB₁—D的大小为 …………………………8分

（3）解由（II）得平面AB₁D的法向量为，

取其单位法向量

∴点C到平面AB₁D的距离

考点：线面平行的判定及二面角，点面距

点评：本题第二问还可作出平面角求解，第三问利用等体积法亦可求解