Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=AA₁=2，E，F分别是CC₁，A₁B₁的中点．
（1）求证：AE⊥平面BCF；
（2）求点F到平面ABE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）建立坐标系，利用向量法证明AE⊥平面BCF；
（2）由题意，F到A₁C₁的距离即为所求．

解答： （1）证明：建立以C₁为坐标原点的空间坐标系如图，
∵AC=BC=AA₁=2，E，F分别是CC₁，A₁B₁的中点．
∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A₁（0，2，0），F（1，1，0），B₁（2，0，0），C（0，0，2）
则

AE

=（0，-2，-1），

BC

=（-2，0，0），

CF

=（1，1，-2），
则

AE

•

BC

=0，

AE

•

CF

=-2+2=0，
则

AE

⊥

BC

，

AE

⊥

CF

，
即AE⊥BC，AE⊥CF，BC∩CF=C，
∴AE⊥平面BCF；

（2）解：取AB的中点O，连结CO，FO，
∵CB=CA，
∴CO⊥AB
∴平面ABC⊥平面BB₁A₁A，
∴CO⊥平面ABF，
而CE∥平面BB₁A₁A，
∴E到平面ABF的距离就是CO的长，CO=

1

2

AB=

2

，
∴S_△ABF=

1

2

AB•OF=2

2

，
∴VE-ABF=

1

3

?CO?S△ABF=

4

3

，
又Rt△ECB和Rt△ECA中，易知EB=EA=

5

，
又AB=2

2

，
故EO=

EB2-OB2

=

3

，
∴S_△ABE=

1

2

EO•AB=

6

设F到平面ABE的距离为d，
由V_F-ABE=V_E-ABF，得

1

3

S_△ABEd=

4

3

，解得d=

2 6

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，考查F到平面ABE的距离，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．