Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=

2 2

3

，
（1）求tan2

B+C

2

+sin2

A

2

的值；
（2）若a=2，S△ABC=

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）先根据角A的范围和正弦值求出余弦值，然后根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对tan2

B+C

2

+sin2

A

2

进行化简，最后代入角A的余弦值即可．
（2）先根据三角形的面积公式求出b与c的乘积，然后将数据代入余弦定理a²=b²+c²-2bccosA即可求出b的值．

解答：解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，sinA=

2 2

3

，
所以cosA=

1

3

，
则tan2

B+C

2

+sin2

A

2

=

sin2 B+C 2

cos2 B+C 2

+sin2

A

2

=

1-cos(B+C)

1+cos(B+C)

+

1

2

(1-cosA)=

1+cosA

1-cosA

+

1

3

=

7

3

（2）因为S△ABC=

2

，又S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

2 2

3

，则bc=3．
将a=2，cosA=

1

3

，c=

3

b

代入余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA中得b⁴-6b²+9=0
解得b=

3

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和、倍角公式、三角形的面积公式以及余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，不容易记忆，一定要强化记忆，这样才能做到做题时的游刃有余．