Question

已知曲线C：y=x³-3x²，直线l：y=-2x
（1）求曲线C与直线l围成的区域的面积；
（2）求曲线y=x³-3x²（0≤x≤1）与直线l围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．

Answer 1

（1）联立y=x³-3x²与y=-2x得：x=0，1或2．
∴曲线C与直线l有三个交点．
y'=3x²-6x令y′=0得：x=0或x=2
∵当x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，
y′＞0，当x∈（0，2）时，y'＜0，
∴曲线C大致形状如图所示．
∴S=∫

1 0

[x3-3x2-(-2x)]dx+∫

2 1

(-2x-x3+3x2)dx=

1

2

（2）由题意，旋转体的体积V=∫

1 0

π[(-2x)2-(x3-3x2)2]dx=

41

105

π