Question

(本小题13分) 已知数列{a}满足0<a, 且 (nN*).
(1) 求证：a_n＋1≠a_n；
(2) 令a₁＝，求出a₂、a₃、a₄、a₅的值，归纳出a_n , 并用数学归纳法证明.

Answer 1

见解析。

试题分析：（1）采用反证法，若存在正整数n使a_n＋1＝a_n，即推出矛盾。
（2）运用归纳猜想的思想得到其通项公式即可。再加以证明其正确性。
解：(1) 证明：(采用反证法)．若存在正整数n使a_n＋1＝a_n，即, 解得a_n＝0, 1.
若a_n＝0, 则 a_n＝a_n－1＝…＝a₂＝a₁＝0, 与题设a₁＞0;
若a_n＝1, 则a_n＝a_n－1＝…＝a₂＝a₁＝1, 与题设a₁≠1相矛盾. 
综上所述, a_n＋1≠a_n成立．
(2) a₁＝、a₂＝、a₃＝、a₄＝、a₅＝，猜想: a_n＝，n∈N^*.
下面用数学归纳法证明:
①n＝1时, 不难验证公式成立;
②假设n＝k(k∈N*)时公式成立, 即a_k＝
则n＝k＋1时， a _k＋1＝＝
故此时公式也成立
综合① ②据数学归纳法知公式成立.
点评：解决该试题的关键是利用数列的前几项得到其通项公式，然后运用数学归纳法分两步证明。