Question

已知：函数的最小正周期是π，且当时f（x）取得最大值3．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间．
（2）若x₀∈[0，2π），且，求x₀．
（3）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）由已知条件知道：（1分）
∴ω=2（2分）∴
∴∴（3分）
∴（4分）
由可得
∴f（x）的单调增区间是（6分）
（2），
∴或
∴x₀=kπ或（9分）
又x₀∈[0，2π）∴或（11分）
（3）由条件可得：（13分）
又g（x）是偶函数，所以g（x）的图象关于y轴对称，
∴x=0时，g（x）取最大或最小值（14分）
即，
∴（15分）
又m＞0∴m的最小值是（16分）
分析：（1）利用函数的周期，最值，求出A，T然后求出ω，通过当时f（x）取得最大值3求出α，从而求f（x）的解析式及单调增区间．
（2）若x₀∈[0，2π），且，求出x₀即可．
（3）利用函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求出g（x），然后再求m的最小值．
点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，化为一个角的一个三角函数的形式是求最值的常用方法．能够正确取得函数在给定区间上的最值，是顺利解题的前提．