Question

已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）求△AOB面积S的最小值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值，从而可求△AOB面积S的最小值．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=

2 5

5

∴原点O到直线的距离为d=|x₁|=

2 5

5

②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）

4m2-4

1+4k2

-km×

8km

1+4k2

+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

综上，点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=

2 5

5

，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ
∴|OA|=

|OH|

sinθ

，|OB|=

|OH|

cosθ

∴|OA||OB|=

8 5

sin2θ

∴2θ=

π

2

，即θ=

π

4

时，|OA||OB|取得最小值为

8

5

∴△AOB面积S的最小值为

4

5

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．