Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．

（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图

则Q（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣2， ，0）

设 ，0＜λ＜1，则M（﹣2λ， ， ），

平面CBQ的一个法向量 =（0，0，1），

设平面MBQ的法向量为 =（x，y，z），

由 ，得 =（ ，0， ），

∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°，

∴cos60°=|cos＜ ＞|=| |= ，

解得 ，∴ = ，

∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．

【解析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．