Question

7．如图，空间四边形ABCD，∠CAD=45°，cos∠ACB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，AC=$\sqrt{15}$+$\sqrt{10}$，AD=2$\sqrt{5}$，BC=6，若点E在线段AC上运动，则EB+ED的最小值为7．

Answer 1

分析 在△ACD中，由已知结合余弦定理和正弦定理求得CD，cos∠ACD的值，然后展开多面体，在△BCD中利用余弦定理求解．

解答 解：在△ACD中，由AC=$\sqrt{15}$+$\sqrt{10}$，AD=2$\sqrt{5}$，∠CAD=45°，
利用余弦定理得：$C{D}^{2}=（\sqrt{15}+\sqrt{10}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}-2×2\sqrt{5}$×$（\sqrt{15}+\sqrt{10}）cos45°$=25，∴CD=5．
再由正弦定理得：$\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{sinC}$，即sin∠ACD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，求得cos∠ACD=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
展开多面体如图：

EB+ED的最小值为BD，
在△BCD中，BC=6，CD=5，
∵cos∠ACB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，cos∠ACD=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴cos∠BCD=$2×（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}-1=\frac{1}{5}$．
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}-2×6×5×\frac{1}{5}}=7$．
∴EB+ED的最小值为7．
故答案为：7．

点评 本题考查多面体表面上的最短距离问题，该类问题的解法是：首先剪展，然后在三角形中借助于正弦定理或余弦定理求解，是中档题．