Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
（1）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（2）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？
（参考数据：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

分析：（1）前12个月还款额是常数列，后24个月每月多x元，此36个数相加等于24000，得到x的一次方程，求出即可；
（2）设第n个月还清，前12个月每月还款500，后来（n-12）个月每月多还50，此n个数相加不小于24000，建立不等式解出n的范围，取最小整数即可．

解答：解：（1）依题意，从第13个月开始，每月还款额比前一个月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（2）设李顺第n个月还清，则应有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即李顺工作31个月就可以还清贷款．
这个月李顺的还款额为24000-[12×500+（500+50）×（30-12）+

(30-12)(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31个月李顺的工资为1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，李顺的剩余工资为3789-450=3339．（14分）

点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，数列的基本应用和等差数列的性质，考查等价转化和建模能力．