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已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,
①求其最小正周期;
②求其最大值;
③求其单调增区间;
分析:利用二倍角公式,平方关系,两角和的正弦函数,化简函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,为一个角的一个三角函数的形式,然后直接求出最小正周期,最大值,单调增区间.
解答:解:y=sin2x+cos2x+2=
2
sin(2x+
π
4
)+2;
①,T=
2
=π;函数的最小正周期为:π
②,当x=kπ+
π
8
(k?Z)时,ymax=2+
2
;函数的最大值为:2+
2

③,因为y=sinx的单调增区间为:[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
]k∈Z,所以2x+
π
4
∈[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
]
解得x∈[kπ-
8
,kπ+
π
8
],k∈Z就是函数的单调增区间.
点评:本题考查三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度,是基础题.
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