Question

【题目】如图所示，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，抛物线经过B、D两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）由旋转性质可得CD=AB=1，OA=OC=2，从而得到点B,D的坐标，代入解析式即可得出答案；

（2）由直线OP把的周长分成相等的两部分，且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得到点Q的坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P的坐标.

（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1，OA=OC=2，则点B（2，1），D（﹣1，2），代入解析式，

得，解得，

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+.

（2）如图：

∵OA=2，AB=1，∴B（2，1）.

∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D（﹣1，2），

∴点Q坐标为（，）.

设直线OP解析式为y=kx，

将点Q坐标代入，得k=，解得k=3，

∴直线OP的解析式为y=3x，

代入y=﹣x2+x+，得﹣x2+x+=3x，

解得x=1或x=﹣4.

当x=1时，y=3；当x=﹣4时，y=﹣12.

∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．