Question

【题目】如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．

（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 当时，投资费用最低，此时的最小值为.

【解析】

（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；

（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.

（1）连接，在中，，故，

据平面几何知识可知,

在中，，故，

所以，

显然，所以函数的定义域为，

即函数关系式为，且。

（2）化简（1）中的函数关系式可得：

令，则，代入上式得：

当且仅当时取“＝”，此时

求得，又，所以

∴当时，投资费用最低，此时的最小值为.