Question

已知函数f（x）=ax+

b

x-1

-a（a∈R，a≠0）在x=3处的切线方程为（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值；
（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立；
（3）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数：f′（x）=a-

b

(x-1) 2

利用导数的几何意义求出切线方程，令x=0 得y=

4

x   0

； 再令y=ax得 x=2x₀，从而证得三角形面积为定值；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在m，k满足题意，再利用 

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m对定义域内任意x都成立，求出m，k，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（3）由题意知，x-1+

2

x-1

=t（x²-2x+3）|x|，分离出t：t=

1

|x|(x-1)

，画出此函数的图象，由图可知t的取值范围．

解答：证明：（1）因为 f′（x）=a-

b

(x-1) 2

所以 f′（3）=a-

b

4

=

2a-1

2

，b=2…（2分）
又 g（x）=f（x+1）=ax+

2

x

，
设g（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）因为 g′（x）=a-

2

x 2

，
所以切线方程为y-（ax₀+

2

x 2 0

）=（a-

2

x 2 0

）（x-x₀）…（4分）
令x=0 得y=

4

x   0

； 再令y=ax得 x=2x₀，
故三角形面积S=

1

2

|

4

x   0

||2x₀|=4，
即三角形面积为定值．…（6分）
解：（2）由f（3）=3得a=1，f（x）=x+

2

x-1

-1假设存在m，k满足题意，
则有x-1+

2

x-1

+m-x-1+

2

m-x-1

=k
化简，得 

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m对定义域内任意x都成立，…（8分）
故只有

m-2=0 k+2-m=0

解得

m=2 k=o

所以存在实数m=2，k=0使得f（x）+f（m-k）=k对定义域内的任意都成立．…（11分）
（3）由题意知，x-1+

2

x-1

=t（x²-2x+3）|x|
因为x≠0，且x≠1
化简，得 t=

1

|x|(x-1)

…（13分）
即

1

t

=|x|（x-1）…（15分）
如图可知，-

1

4

＜

1

t

＜0
所以t＜-4即为t的取值范围．…（16分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．