Question

14．如图1ABCD为矩形，其中BC边长度为2，AB边长度为1，E为AD的中点，将△ABE沿BE折叠使得平面ABE⊥平面BEDC，连接AC、AD（如图2）．
（1）求图2的侧视图的面积；
（2）求二面角A-CD-B所成角的正切值；
（3）点M在AD上，且AM：MD=5：2，点N在棱AC上，BN∥平面EMC，求AN的值．

Answer 1

分析 （1）确定侧视图的底和高结合三角形的面积公式即可求图2的侧视图的面积；
（2）根据二面角平面角的定义得到∠AHO为二面角A-CD-B的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A-CD-B所成角的正切值；
（3）根据BN∥平面EMC以及对应边的比例关系，进行求解．

解答 解：（1）由图可知侧视图为三角形，设BE 的中点为O，连结AO．
∵AB=AE=1，O为BE中点，
∴AO⊥BE，
∵平面ABE⊥平面BCDE，且AO?平面ABE，
∴AO⊥平面BCDE，则AO的长度即为侧视图的高的长度．
∵CD⊥BC，
∴CD的长度为侧视图的底边长，
∴侧视图的面积S=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）取CD中点H，连结OH，AH，则OH⊥CD．
由（1）知，AO⊥平面BCDE，
∴AH⊥CD．
∴∠AHO为二面角A-CD-B的平面角，
∴OH=$\frac{1}{2}$（ED+BC）=$\frac{3}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠AHO=$\frac{AO}{OH}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（3）连接BD，交CE于P，连接PM，在梯形BCDE中，ED=1，BC=2，DE∥BC，
∴BP：PD=2：1，取AM 中点Q，使QM：MD=2：1
连BQ，∴QM：MD=2：1=BP：PD，
∴BQ∥PM，
由AM：MD=5：2得AQ：QM=1：4，
在AC上去N使AN：NC=1：4，连接BN，则QN∥MC，
∵BQ∥PM，QN∥MC，BQ?平面MEC，PM?平面MEC，NQ?平面MEC，MC?平面MEC，
∴BQ∥平面MEC，QE∥平面MEC，
∵BQ∩QE=Q，
∴平面BQN∥平面MEC，
∵BN?平面BQN，
∴BN∥平面BQN，
∵N是AC的中点，
∴AN=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．运算量较大，综合考查学生的运算和推理能力．