Question

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若PA=2，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答 证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．
取BC中点E，连接AE，PE，
因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，
因为PB=PC，所以BC⊥PE，
又因为PE∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，
又PA?平面PAE，所以BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
又因为BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD．…6
解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（$\sqrt{3}$，-1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
取平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
所以二面角A-PD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．