Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求函数的单调减区间；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）a≥﹣2

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；

（2）问题等价于在x∈（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）

由f'（x）＜0且a＜0得：

∴函数f（x）的单调减区间为

（2）依题意x∈（0，+∞）时，不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立，

等价于在x∈（0，+∞）上恒成立．

令

则

当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减

∴当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2

故a≥﹣2