Question

【题目】如图，椭圆C： =1（0＜b＜3）的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为 ．

（1）求椭圆方程；
（2）若 ，求直线PQ的方程；
（3）M，N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM，PN分别与x轴交于R，S，求证：|OR||OS|为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，且a=3，∴b2=4，故椭圆方程为
（2）解：设 与4x2+9y2=36联立，

得：

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

由 得y1=﹣2y2，

即 ，

∴

（3）证明：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则 ，

令y=0得 ，同理 ，

得 ，

∴|OR||OS|= （#）

又 ， ∴ ，∴ 代入（#）

得：∴|OR||OS|=9

【解析】（1）利用椭圆的简单性质，结合已知条件求出a，b，得到椭圆方程．（2）设 与4x2+9y2=36联立，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用韦达定理以及判别式，通过 求出m，然后求解直线方程．（3）设M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），则 ，令y=0得 同理 ，通过化简|OR||OS|，结合点的坐标满足椭圆方程，化简求解|OR||OS|=9．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．