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已知二次函数f(x)=x2+bx+c(x∈R),同时满足以下条件:
①存在实数m,使得f(m)=0,且对任意实数x,恒有f(x)≥0成立;
②存在实数k (k≠0),使得f(1-k)=f(1+k)成立.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=f(n),数列{bn}满足关系式bn=an+2+
2
,问数列{bn}中是否存在不同的3项,使之成为等比数列?若存在,试写出任意符合条件的3项;若不存在,请说明理由.
(1)由①得,二次函数有最小值0,故
4c-b2
4
=0
(2分)
二次函数的对称轴为直线x=1,故-
b
2
=1
,(4分)
即b=-2,c=1f(x)=x2-2x+1
(6分)
(2)Sn=n2-2n+1(n∈N*)∴an=
0
2n-3
n=1
n≥2,n∈N*
(2分)
bn=
2+
2
2n-1+
2
n=1
n≥2,n∈N*
(4分)
设数列的p、q、r(p<q<r)项使得bp、bq、br成等比数列.
(ⅰ)若p=1时,b1=2+
2
bq=(2q-1)+
2
br=(2r-1)+
2

则bq2=b1•br[(2q-1)+
2
]2=(2+
2
)[(2r-1)+
2
]
(2q-1)2+2+2
2
(2q-1)=2(2r-1)+2+(2r-1)•
2
+2
2

(2q-1)2+2=4r-2+2
2(2q-1)=2r-1+2
?
(2q-1)2+2=4r
4q-2=2r+1
①②
由于②式左边为偶数,右边为奇数,显然q、r不存在.                  (3分)
(ⅱ)若1<p<r<q,p、q、r∈N*
[(2q-1)+
2
]2=(2p-1+
2
)(2r-1+
2
)
(2q-1)2+2+2
2
(2q-1)=(2p-1)(2r-1)+2+(2p-1+2r-1)
2

(2q-1)2=(2q-1)(2r-1)
2(2q-1)=2p+2r-2
?p+r=2q?(p+r-1)2=(2p-1)(2r-1)?(p-r)2=0
∴p=r产生矛盾                                                       (7分)
综上所述,这样的三项不存在.                                          (8分)
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