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设函数f(x)=2ax3-(6a+3)x2+12x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极大值和极小值,并写出函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,求非零实数a的取值范围.
考点:利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题:函数的性质及应用
分析:(1)先求导数,然后令导数为零,判断导数的符号,确定函数的极值点;
(2)问题转化为导数在(-∞,1)上大于等于零恒成立,然后将问题转化为函数的最值问题求解.
解答: 解:(1)当a=1时,f(x)=2x3-9x2+12x,所以f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
令f′(x)=0得x=1或2.
因为x<1或x>2时,f′(x)>0;当1≤x≤2时,f′(x)<0,故f(x)极小=f(2)=4,f(x)极大=f(1)=5.
(2)若函数f(x)在(-∞,1)上递增,则f′(x)=6ax2-(12a+6)x+12≥0在(-∞,1)上恒成立.
结合图象可知,显然当a<0时不能满足题意,故a≥0,
当a=0时,解得x≤2,符合题意;
当a>0时,原式化为a(x2-2x)≥x-2.因为x<1,所以x-2<0,
所以原式化为ax≤1在(-∞,1)恒成立.因为y=ax此时是增函数,所以只需ymax=1×a≤1即可.
所以此时a的范围是0<a≤1.
故所求a的范围是[0,1].
点评:本题考查了利用导数其函数的极值的方法步骤,以及不等式恒成立的思路.后者一般分离参数,转化为函数的最值问题来解.
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已知平面向量
α
β
满足|
α
|=|
β
|=1,且
α
β
-
α
的夹角为120°,则|(1-t)
α
+2t
β
|(t∈R)的取值范围是
 

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①有12个顶点;②有24条棱;③有12个面;④表面积为3a2;⑤体积为
5
6
a3
其中正确的结论是(  )
A、①③④B、①②⑤
C、②③⑤D、②④⑤

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如图所示,甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是(  )
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C、①②③D、④③②

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A、(-∞,
1
4
B、(
1
4
+∞)
C、(0,
1
4
D、(
1
4
,1)

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下列结论中正确的个数是(  )
①在△ABC中,若acosB=bcosA,则△ABC为等腰三角形
②若等差数列的通项公式为an=4n-21,则S5为最小值;
③当0<x<2时,函数f(x)=x(4-2x)的最大值为2
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
A、.1B、2C、.3D、4

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已知E为不等式组
x+y≥2
x+2y≤4
y≥1
,表示区域内的一点,过点E的直线l与圆M:(x-1)2+y2=9相交于A,C两点,过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点,当AC取最小值时,四边形ABCD的面积为(  )
A、12
B、6
7
C、12
2
D、4
5

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已知三个实数a,b,c,当c>0时满足:b≤2a+3c且bc=a2,则
b
a-2c
的取值范围是
 

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