Question

某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，其中x是该厂生产这种产品的总件数．
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170-0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

Answer 1

分析：（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额-总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出最值时x的值即可．

解答：解：（1）P(x)=

12500

x

+40+0.05x…（2分）
由基本不等式得P(x)≥2

12500×0.05

+40=90…（4分）
当且仅当

12500

x

=0.05x，即x=500时，等号成立      …（5分）
∴P(x)=

12500

x

+40+0.05x，成本的最小值为90元．       …（6分）
（2）设总利润为y元，则y=xQ（x）-xP（x）=-0.1x²+130x-12500=-0.1（x-650）²+29750…（10分）
当x=650时，y_max=29750…（11分）
答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．…（12分）

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及二次函数的性质，同时考查了建模的能力，属于中档题．