Question

11．已知函数g（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$．
（1）判断函数g（x）的奇偶性
（2）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，即函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=-g（x），
则g（x）为奇函数 …（6分）
证明：（2）设x₁＜x₂＜0，
则g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}+1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（-∞，0）上为减函数．…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．