Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为
因为 所以a=2b
又椭圆过点M（4，1），所以解得
故椭圆方程为
（2）将y=x+m代入
5x²+8mx+4m²-20=0
|AB|===，得到m=±4
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则
=
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=
因此MA，MB与x轴所围成的三角形为等腰三角形
分析：（1）设椭圆方程为由 可得a，b之间的关系，再由椭圆过点M（4，1），代入椭圆方程可得a，b得另一个关系式，联立可求
（2）将y=x+m代入，整理可得5x²+8mx+4m²-20=0，由|AB|==可求m
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，要证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．只要证明k₁+k₂=0即可
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，在处理直线与椭相交的位置关系的处理中，联立方程是最常用的处理方法，根与系数的关系的应用是处理此类问题的关键所在，