Question

在等差数列{a_n}中，3a₈=5a₁₃，且a₁＞0，S_n为其前n项和，问S_n取最大值时，n的值是多少？

Answer 1

分析：设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式化简已知的等式，用d表示出a₁，由a₁大于0，得到d小于0，然后再利用等差数列的前n项和公式表示出此等差数列的前n项和S_n，整理后得到S_n为关于n的二次函数，根据二次项系数d小于0，得到此函数图象为开口向下的抛物线，即函数有最大值，进而利用二次函数取最值的方法即可求出S_n取最大值时n的值．

解答：解：由题意3a₈=5a₁₃，
化简得：3（a₁+7d）=5（a₁+12d），又a₁＞0，
∴a1=-

39

2

d＞0，
∴d＜0，
∴Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

d

2

(n-20)2-200d，
∵S_n为关于n的二次函数，且d＜0，
∴此函数函数图象为开口向下的抛物线，即二次函数有最大值，
∴n=20时，S_n有最大值．

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，求和公式，以及二次函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．