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已知f(x)=2x(x∈R)可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若不等式a-g(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是   
【答案】分析:由题意可得g(x)+h(x)=2x,根据函数奇偶性,推出方程g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2-x从而可得h(x)和g(x)的解析式,再代入不等式a-g(x)+h(2x)≥0,利用常数分离法进行求解
解答:解:解:f(x)=2x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和
∴g(x)+h(x)=2x①,g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2-x
①②联立可得,h(x)=(2x+2-x),g(x)=(2x-2-x),
ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立
对于x∈[1,2]恒成立
a≥-=-(2x-2-x)+(2-x-2x)对于x∈[1,2]恒成立
t=2x-2-x,x∈[1,2],t∈[]则t+在t∈[],
t=,时,则t+=
∴a≥-
故答案为a≥-
点评:本题主要考查了奇偶函数的定义的应用,函数的恒成立的问题,常会转化为求函数的最值问题,体现了转化思想的应用.
练习册系列答案
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f(x1)f(x2)
=C
,则称函数f(x)在D上的几何平均数为C.已知f(x)=2x,x∈[1,2],则函数f(x)=2x在[1,2]上的几何平均数为(  )
A、
2
B、2
C、2
2
D、4

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2
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