Question

【题目】如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|

Answer 1

【答案】
（1）解：由于|x﹣3|+|x﹣4|≤表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，

由于关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集，

故|a|＜1，求得﹣1＜a＜1

（2）解：若实数b与实数a取值范围完全相同，即﹣1＜b＜1，即|b|＜1，

|1﹣ab|＞|a﹣b|，等价于 （1﹣ab）2＞（a﹣b）2，等价于1+a2b2﹣a2﹣b2＞0，

等价于 （1﹣a2）（1﹣b2）＞0．

由于（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，故（1﹣a2）（1﹣b2）＞0成立，即|1﹣ab|＞|a﹣b|成立

【解析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得实数a的取值范围．（2）要证的不等式等价于 （1﹣a2）（1﹣b2）＞0，由条件得到（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，不等式得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．