Question

9．三棱锥的三条棱两两互相垂直，长度分别为6，4，4，则其顶点到底面的距离为（　　）

• A． $\frac{14}{3}$
• B． 2$\sqrt{17}$
• C． $\frac{6\sqrt{22}}{11}$
• D． $\frac{2\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 设三棱锥为P-ABC，且PA=6，PB=PC=4，以P为原点，建立空间直角空间直角坐标系，利用向量法能求出P到面ABC的距离．

解答 解：设三棱锥为P-ABC，且PA=6，PB=PC=4，
以P为原点，建立空间直角空间直角坐标系如图，
则P（0，0，0），A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（6，0，0），$\overrightarrow{AB}$=（-6，4，0），$\overrightarrow{AC}$=（-6，0，4），
设面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-6x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-6x+4z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，3，3），
∴P到面ABC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{4+9+9}}$=$\frac{6\sqrt{22}}{11}$．
故选：C．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．