Question

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2．
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；
（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数在区间（-1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；
（Ⅱ）利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．

解答：解：由函数f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2得，f″（x）=x²-mx-3（3分）
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x²-mx-3＜0在区间（-1，3）上恒成立，
由二次函数的图象，当且仅当

f″(-1)=1+m-3≤0 f″(3)=9-3m-3≤0

，
即

m≤2 m≥2

?m=2．（7分）
（Ⅱ）当|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．（8分）
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．（9分）
当x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2．
∴x-

3

x

＜-2．
从而解得0＜x＜1（11分）
当x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，
从而解得-1＜x＜0．（13分）
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）_max=1-（-1）=2（14分）

点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．