Question

16．方程x²+$\sqrt{2}$x-1=0的解可视为函数y=x+$\sqrt{2}$与函数y=$\frac{1}{x}$的图象交点的横坐标，若x⁴+ax-4=0的各实根x₁、x₂、…、x_k（k≤4）所对应的点（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同一侧，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-6）
• B． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• C． （6，+∞）
• D． （-6，6）

Answer 1

分析 原方程等价于x³+a=$\frac{4}{x}$，原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=$\frac{4}{x}$的交点的横坐标：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x³+a=$\frac{4}{x}$，
原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=$\frac{4}{x}$的交点的横坐标；
而曲线y=x³+a是由曲线y=x³向上或向下平移|a|个单位而得到的．
若交点（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x³与y=$\frac{4}{x}$交点为：（-2，-2），（2，2）；

所以结合图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{x}^{3}+a＞-2}\\{x≥-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{x}^{3}+a＜2}\\{x≤2}\end{array}\right.$
解得a＞6或a＜-6，即实数a的取值范围是（-∞，-6）∪（6，∞），
故选：B

点评 本题考查函数与方程的综合运用，利用数形结合是解决本题的关键．注意合理地进行等价转化．